La belleza en el método matemático

Según cuentan, Descartes dijo una vez que la matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. En Matemáticas, la belleza puede apreciarse desde varios enfoques. Uno de ellos se conoce como la belleza del método, que suele comportar brevedad insual en la demostración, el uso de pocas ayudas previas en forma de hipótesis o resultados, o si aporta una nueva y original visión del problema. Hagamos un repaso por algunas de esas bellas demostraciones, muchas de las cuales hacen uso de la geometría, ya que según dicen, una imagen vale más que mil palabras.

Un clásico entre los clásicos es el Teorema de Pitágoras, el cual afirma que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es el teorema que más demostraciones distintas tiene, contabilizando hasta 367, entre otras razones porque en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos. Entre las distintas formas de probar dicho teorema, encontramos algunas que se agrupan en lo que se conoce como pruebas geométricas, que realizan comparaciones de áreas, implicando todo tipo de polígonos como triángulos, trapecios y cuadrados.

Otro teorema con un resultado sorprendente es el Teorema de Van Aubel, que reza lo siguiente: Dado un cuadrilátero cualquiera en un plano, a partir de cada lado dibujamos un cuadrado apoyado en él. Entonces los segmentos que unen los centros de cuadrados situados en lados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares. Lo sorprendente, si observáis la imagen de la derecha, es que los segmentos que unen los centros de los cuadrados en lados opuestos resultan tener la misma longitud y son de igual longitud, sin importar la forma del cuadrilátero, ya que el teorema no especifica restricción alguna respecto al mismo.

Un ejemplar sencillo y realmente bello es el Teorema de Marden. Basado en la elipse de Steiner, una elipse interior a un triángulo que en algunos casos es tangente a los puntos medios de dichos lados, sirve para expresar la relación geométrica entre los ceros de un polinomio de tercer grado con coeficientes complejos y los ceros de su derivada. Como podéis comprobar en la imagen inferior, de esta simple manera se muestra que los focos de la elipse coinciden con los ceros de la derivada del polinomio, cuyos ceros son los vértices del triángulo. Un dato curioso es que la elipse de Steiner se puede aplicar a polígonos de múltiples lados, teniendo algunos de ellos una elipse resultante que es tangente a cada lado en su punto medio.

El Teorema de Napoleon, conectado con el de Van Aubel y atribuido a Napoleón Bonaparte, es otro interesante ejemplo de un resultado sobre triángulos equiláteros, que reza lo siguiente: se construyen tres triángulos equiláteros a partir de los lados de un triángulo cualquiera, todos al interior o todos al exterior, entonces los centros de los triángulos equiláteros forman también un triángulo equilátero.

lo increíble es que la diferencia entre las áreas de los triángulos exterior e interior es igual al área del triángulo original. Este teorema tiene una interesante generalización en el caso de triángulos construidos externamente: Si se construyen externamente triángulos similares de cualquier forma en un triángulo de modo que cada uno se hace girar con relación a sus vecinos y cualquiera de los tres puntos correspondientes de estos triángulos están conectados, el resultado es un triángulo que es similar al triángulo externo.

El Teorema del punto fijo de Brouwer también tiene demostraciones bellas y curiosas. Este teorema establece que si una función f verifica ciertas propiedades, entonces existe un punto x₀ tal que f(x₀) = x₀, es decir, un punto fijo.

La prueba se realizó mediante el juego de Hex. La esbozó el famoso John Forbes Nash, reinventando el juego de Hex y mostrando que el empate es imposible. Eso a su vez demostró que es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer.

El hex es un juego entre dos personas que van colocando por turnos fichas sobre un tablero romboidal, compuesto de casilleros hexagonales. Las fichas se distinguen por su color, asociándose uno a cada jugador, y gana quien consigue formar una línea de sus fichas que conecte dos laterales opuestos del tablero previamente asignados. Lo que se demostró que si el tablero se encuentra completamente lleno de piezas, no es posible llegar a una situación de empate. Esta propiedad es la que permite demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer.

En geometría, el Teorema del Círculo de Monge-D’Alembert destaca tanto por su simplicidad como por su amplio abanico de aplicaciones en distintos problemas. Este teorema establece que los pares de centros externos de similitud, que se obtienen trazando tangentes comunes dos a dos entre los círculos, de los tres círculos están en el mismo plano y en la misma recta (colineales) Se puede resolver usando el Teorema de Desargues, y se puede aplicar en muchos otros problemas, como los círculos de Malfatti.

Por último, veamos el Teorema de la Mariposa que, con cierta inspiración en el lema de Zassenhaus de teoría de grupos, es el resultado clásico de la geometría euclidiana. Este teorema fue demostrado por primera vez por William George Horner además de otros como Coxeter, Shklyarsky y Greitzer. Su nombre, como puede apreciarse en la figura, proviene de la apariencia final que se produce al dibujar cada uno de los elementos que va exigiendo el enunciado. La demostración es bastante complicada, pero lo curioso es que el resultado es independiente de la cuerda elegida, ya que los punto X e Y son equidistantes de M.

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series divergentes.

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