La dualidad en geometría

La dualidad es un tipo especial de simetría. En matemáticas, dos teoremas o configuraciones son duales si uno puede ser obtenido a partir del otro reemplazando cada concepto y operador por su operador o concepto dual. Quizás sorprendentemente, tales dualidades aparecen en muchas partes de las matemáticas, como la geometría proyectiva, algebra booleana, solidos platónicos, teselaciones, teoría de grafos, trigonometría, etc... Es interesante porque existe una dualidad similar aunque limitada entre los conceptos de ángulo (vértice o punto) y lado (segmento lineal) dentro de la geometría plana euclideana que exploraremos brevemente.

Por ejemplo, la dualidad entre los conceptos de bisectriz de un ángulo y bisectriz perpendicular puede formularse de la siguiente manera:

• La bisectriz de un ángulo es el es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de los dos lados de un ángulo (Figura izda).
• Una bisectriz perpendicular es el lugar geométrico de todos los puntos equidistante de los dos extremos de un segmento de línea (lado) (Figura drcha).

Esta dualidad entre ángulo y lado se refleja de forma elegante en los diferentes tipos de cuadriláteros, como se muestra en la tabla siguiente. Por ejemplo, los rectángulos y rombos, trapecios isósceles y deltoides, y sus duales correspondientes, los cuadriláteros inscritos y circunscritos. Por otro lado, los cuadrados y paralelogramos son sus duales propios, en otras palabras, son auto-duales.

Cuadrado
Todos los ángulos son iguales	Todos los lados son iguales
Círcuscrito	Inscrito
Un eje de simetría a través de cada para de lados opuestos	Un eje de simetría a través de cara para de ángulos opuestos

Rectángulo	Rombo
Todos los ángulos iguales	Todos los lados iguales
Círculo cincuscrito	Círculo inscrito
Eje de simetría a través de cada pajera de lados opuestos	Eje de simetría a través de cada par de ángulos opuestos

Trapecio isósceles	Deltoide
Dos pares de ángulos adyacentes iguales	Dos pares de lados adyacentes iguales
Un par de lados opuestos iguales	Un par de ángulos opuestos iguales
Círculo circunscrito	Círculo inscrito
Eje de simetría a través de un par de lados opuestos	Eje de simetría a través de un par de ángulos opuestos

Cuadrilátero inscrito	Cuadrilátero circunscrito
Círculo circunscrito	Círculo inscrito
Bisectrices perpendiculares de los lados son concurrentes al circuncentro	Bisectrices de los ángulos son concurrentes al incentro
Las sumas de dos pares de ángulos opuestos son iguales (p.e. ∠A + ∠C = ∠B + ∠D )	Las sumas de dos pares de lados opuestos son iguales (p.e. AB + CD = BC + AD)

Paralelogramo
Angulos opuestos iguales	Lados opuestos iguales

Esta dualidad se puede mostrar de forma simple con el siguiente esquema de clasificación, donde la donde la reflexión en la línea vertical de simetría da el dual de un cuadrilátero especial.

Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas Edición 3.14159265 que se hospeda en esta ocasión en el blog Pimedios.

Via University of Durban-Westville